航海类学生可能无法理解的聚点

已知

>0，

是点P的去心邻域，E是一个平面点集，如果该去心邻域中总有E中的点，那么P就是E的聚点。

简单地说，

.

可见，聚点是个小概念，很好理解。但问题是，为什么在函数极限中没有用聚点，而二元函数极限中却用了聚点？

这是今天要解决的主要问题。

一元函数中，其定义域是一维的，对于定义域上的任何一个取到的点，一定包含在其定义域中，所以一元函数极限定义中就敢说，函数

在点

的去心邻域内有定义。

其实这句话就相当于说，一元函数定域中的任何一个点都是聚点。

再看二元函数极限定义，二元函数

的定义域是D，点

是D的聚点。问题是，为啥定义二元函数极限的时候不和一元函数时一样，说

在去心邻域

内有定义了呢？

根本原因是，一元函数中其定义域中的任何一个点都是聚点，这个点的去心邻域自然在定义域中；而

的去心邻域可能并不都包含在二元函数定义域D中，如果是这样，你怎么能定义二元函数在某一个去心邻域内有定义呢？有时候分明就没有定义的！

例如二元函数的定义域

,原点

自然就是D的聚点，无论r有多小都是，那么，

中的绝大部分的点都不在D中，那么，在二元函数中，你怎么定义说，二元函数在

的去心邻域中有定义？

这样是非常不严谨的。。。尤其对于数学这种要求高度严谨的学科来说，这么定义二元函数的极限是不可容忍的。

再看一下二元函数极限的定义中，为什么会有这个式子？

如果上面我说的你明白了，那么这个式子你就会高呼一声，是这样的！这个定义就是怕你不明白聚点的确切含义，又特意强调了一下。

许多数学分析教材，如菲赫金哥尔茨、卓里奇、Rudin，在引入极限时，先对有限点情形用 ε-δ 定义，然后针对无穷远点单独定义，最后指出它们都可以统一为用聚点定义。

而“聚点”一词在收敛性、极限存在性判定中经常出现，但作为极限定义的统一基础，通常要求 a 是定义域的聚点，保证极限的唯一性和讨论有意义。

因此，基于聚点的邻域定义确实是数学分析中最为统一、简洁的函数极限定义形式。

瞬间秒懂！原来在数学分析中，所有函数的极限都可以用聚点这个最简单的形式表达出来的。

终于做到了函数极限形式的统一。

那有人问，为啥在一元函数极限的时候不用聚点，非得用在去心邻域内有定义？

可能是教材的编写者认为，大学生刚上高数，对于大多数人来说，本来理解能力就有限。

函数极限的定义是上册中最基本的一个定义，后面的导数等概念接来源于函数极限，确实不太好理解。

那么，对于天然满足的条件：一元函数定义域的任何一个点都是聚点这个概念来说，就不要再增加难度，希望学生尽快理解，上手，尽快掌握函数极限这个概念。

况且一元函数极限的定义是在数列极限的基础上引出来的，而在数列极限中也不太好讲聚点这个概念。于是，就出现了一元函数极限定义不用聚点，而二元函数用聚点的现象了。

说到底，二元函数极限定义，不得不用聚点来说明了，否则就不严谨了。

学航海的孩子们，你们明白了吗？