4月多模态视觉测评榜单出炉：Doubao-Seed-2.0问鼎榜首，国内模型大放异彩！

**解题步骤：**

1.  **确定交点坐标：**

    首先，我们需要找到抛物线 \( y = x^2 + 2 \) 和直线 \( y = 3x \) 的交点。联立两个方程：

    \[ x^2 + 2 = 3x \]

    整理得：

    \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

    因式分解：

    \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]

    解得 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 = 2 \)。

    对应的 \( y \) 值为：

    当 \( x = 1 \) 时，\( y = 3(1) = 3 \)，交点为 \( (1, 3) \)。

    当 \( x = 2 \) 时，\( y = 3(2) = 6 \)，交点为 \( (2, 6) \)。

2.  **分析阴影区域：**

    观察图像，阴影区域分为两部分：

    *   **第一部分（左侧）：** 在 \( y \) 轴 (\( x=0 \)) 和第一个交点 (\( x=1 \)) 之间。

        在此区间 \( [0, 1] \) 内，取 \( x=0.5 \) 测试，\( y_{抛} = 0.5^2 + 2 = 2.25 \)，\( y_{直} = 3(0.5) = 1.5 \)。

        因为 \( 2.25 > 1.5 \)，所以抛物线 \( y = x^2 + 2 \) 在直线 \( y = 3x \) 的上方。

    *   **第二部分（右侧）：** 在两个交点 (\( x=1 \) 和 \( x=2 \)) 之间。

        在此区间 \( [1, 2] \) 内，取 \( x=1.5 \) 测试，\( y_{直} = 3(1.5) = 4.5 \)，\( y_{抛} = 1.5^2 + 2 = 4.25 \)。

        因为 \( 4.5 > 4.25 \)，所以直线 \( y = 3x \) 在抛物线 \( y = x^2 + 2 \) 的上方。

3.  **列出面积积分公式：**

    总面积 \( S \) 等于两部分面积之和：

    \[ S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} [(x^2 + 2) - 3x] \, dx + \int_{1}^{2} [3x - (x^2 + 2)] \, dx \]

4.  **计算定积分：**

    *   计算 \( S_1 \)：

        \[

        \begin{aligned}

        S_1 &= \int_{0}^{1} (x^2 - 3x + 2) \, dx \\

        &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{1} \\

        &= \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right) - 0 \\

        &= \frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6} \\

        &= \frac{5}{6}

        \end{aligned}

        \]

    *   计算 \( S_2 \)：

        \[

        \begin{aligned}

        S_2 &= \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) \, dx \\

        &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x \right]_{1}^{2} \\

        &= \left( -\frac{8}{3} + \frac{3}{2}(4) - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right) \\

        &= \left( -\frac{8}{3} + 6 - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right) \\

        &= \left( 2 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{-2 + 9 - 12}{6} \right) \\

        &= \left( \frac{6}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{5}{6} \right) \\

        &= -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} \\

        &= -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} \\

        &= \frac{1}{6}

        \end{aligned}

        \]

5.  **求和：**

    \[ S = S_1 + S_2 = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1 \]

**最终答案：**

阴影区域的面积为 **1**。』

**参考答案**：

『1』

## 解答过程

### 第一步：确定边界曲线的交点

**求 $y = x^2 + 2$ 与 $y = 3x$ 的交点：**

令 $x^2 + 2 = 3x$，即

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$(x-1)(x-2) = 0$$

得 $x = 1$ 或 $x = 2$

对应交点为 $(1, 3)$ 和 $(2, 6)$

**求与 $x = 0$（$y$轴）的交点：**

- $y = x^2 + 2$ 与 $x = 0$ 交于点 $(0, 2)$

- $y = 3x$ 与 $x = 0$ 交于原点 $O(0, 0)$

### 第二步：确定积分区域

从图像可知，阴影区域是由：

- 左边界：$x = 0$

- 下边界：$y = 3x$  

- 上边界：$y = x^2 + 2$

围成的区域，其 $x$ 的取值范围为 $[0, 1]$（最右侧交点为 $(1,3)$）

验证上下位置：在 $[0, 1]$ 区间内，$x^2 + 2 \geq 3x$（例如 $x=0.5$ 时，$2.25 > 1.5$）

### 第三步：计算定积分

$$S = \int_0^1 \left[(x^2 + 2) - 3x\right] dx = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2)\, dx$$

$$= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_0^1$$

$$= \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2\right) - 0$$

通分计算：

$$= \frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6} = \frac{5}{6}$$

## 最终答案

阴影区域的面积为 $\boxed{\dfrac{5}{6}}$