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中国数学家王虹和邓煜获得2026 年菲尔兹奖。这是第一次有在中国大陆接受本科教育的数学家获得菲尔兹奖，而且是一次两位。下面这篇文字写于2025年，对于研究者来说，仍有很大启发。

撰文｜倪忆

近日，纽约大学副教授王虹与加拿大不列颠哥伦比亚大学副教授扎尔（Joshua Zahl）在预印本网站上贴出一篇证明“三维挂谷猜想”的论文，轰动了整个数学界。这项工作过于重要，两位作者又很年轻，有资格竞争明年的菲尔兹奖，（王虹甚至2030年都有机会，）以至于这个话题出圈到数学界之外，引发热议。

扎尔（图源：Quanta杂志）

挂谷猜想是数学界合作与交流的范例。一代代的数学家把来自不同领域的思想和方法引入到对挂谷猜想的研究当中，合作攻克了一个又一个难关，终于带来了阶段性的重大突破。这其实才是数学研究的常态，而非大众心目中在书斋内孤军奋战。

挂谷猜想的历史需要从与之相关的“挂谷转针问题”讲起。1917年，日本数学家挂谷宗一提出了这样一个问题：把一条长度为1的线段在平面上移动，使其方向旋转360°，那么这条线段扫过的最小面积是多少？

容易发现，如果线段只是绕着一个固定的轴心旋转，那么扫过的面积最小是π/4。但是，线段在这一过程中完全可以平移。挂谷宗一找到了一个例子，其中线段扫过的面积是π/8。挂谷和其他一些数学家都猜测这就是最小面积。（挂谷最初的问题里可能要求扫过的图形是凸集，但笔者无法找到原始文献加以确认。加上凸集条件后，匈牙利数学家帕尔（Julius Pal）证明面积最小的是高为1的正三角形。）

后来另外一位数学家矢野健太郎在描述这一问题时，采用了如下形式。（图片出自单墫教授所著《十个有趣的数学问题》。）

这个不讲武德的故事给人以深刻印象，从而流传很广。可见，选择一个生动有趣的方式来普及数学是多么重要！

维空间中也可以提类似的问题，但答案并没有本质的区别。现在数学家所研究的“挂谷猜想”，其实是一个全新的问题。在这一点上，近期许多报道都犯了错误。

挂谷猜想表明，尽管挂谷集合的测度可以是0，但挂谷集合仍然“很大”。这在一定程度上符合挂谷最初的直觉，只是挂谷采用“面积”来衡量挂谷集合该有多大这一点是不正确的。

挂谷猜想是几何测度论这门数学分支里的核心问题之一。希尔伯特曾经说费马大定理是一只会下金蛋的鹅，这是因为对费马大定理的研究极大地推动了代数数论的发展。同样的评价也可以用在挂谷猜想上。

挂谷猜想不是一个孤立的问题，而是一系列类似问题中的一个，这些问题统称为“挂谷类型问题”。对其中一个问题的突破往往会带来其它问题上的进展。

费弗曼的论文发表在《数学年刊》上，其中关键一步使用了坎宁安（Frederic Cunningham, Jr.）刚刚发表在《美国数学月刊》上的一篇关于挂谷转针问题的论文。《数学年刊》是数学界最好的专业杂志，《美国数学月刊》则是一份面向高中生、大学生、数学教师和数学爱好者的普及性刊物，主要刊登初等数学和数学教育方面的文章。很多专业数学家或许会对《美国数学月刊》不屑一顾，但在这个例子里，《美国数学月刊》上发表的论文也为最顶级的数学成果提供了坚实的基础。

挂谷猜想的基本的重要性还体现在布尔甘（Jean Bourgain，1994年菲尔兹奖得主）的开创性工作中。布尔甘在1991年发现，从某些挂谷类型猜想也能在一定程度上推出限制猜想。这方面后来又有一系列成果，最新进展是在2024年末，王虹和吴澍坤提出了一个新的挂谷类型猜想，并证明这个猜想蕴含限制猜想。

布尔甘与陶哲轩一同领取2012年克拉福德奖（图源：Crafoord Foundation）

这真是让人意想不到的联系！众所周知，数学中最著名的难题或许是黎曼假设，说的是黎曼ζ-函数的非平凡零点的实部都是1/2。黎曼假设有许多推论，其中之一就是密度假设，预测的是零点的虚部的分布规律。而ζ-函数零点的分布规律跟素数分布息息相关，例如从密度假设能推出相邻素数之间距离的一个估计。

挂谷猜想，这个最初由平面上转针启发出的数学问题，竟然跟信号处理、图像压缩、甚至素数分布都能拉上关系，这正是数学的一大奇妙之处。

【人物简介】卡茨小时候是一名神童，20岁便获得博士学位。（作为对比，另外一位众所周知的神童陶哲轩是21岁获得博士学位。）他乍一看有些古怪，不过却颇具幽默感。他办公室门上长期贴着一张海报，上面是他的照片以及几幅喵星人的图，配有文字“We love Katz!”笔者见到好几篇介绍挂谷猜想的英文文章都配有猫图，可能都是用同样的谐音梗。

卡茨（图源：Elizabeth Housworth的个人网站）

有限域上的挂谷猜想的解决是当时数学界一大轰动事件，引起许多人关注，这其中有一位几何学家拉里·古思（Larry Guth）。仅仅几个月后，古思使用代数拓扑里一个很基本的定理，成功地将多项式方法运用到了实数域上，并以之证明了陶哲轩等人提出的“多线性挂谷猜想”的端点情形。在这一类问题中，端点情形的估计是非常困难、非常少见的。古思后来又使用多项式方法在原本的挂谷猜想上也获得了重要进展。

古思（图源：x.com）

王虹与扎尔的论文长达127页，技术性非常强，要通过审核少说也得几个月时间。笔者并非这一领域的专家，没有能力检验证明，不过从种种迹象看，该证明正确的可能性相当大。

王虹会不会获得菲尔兹奖?这恐怕是中文互联网上关于挂谷猜想大家最关心的一个问题。

另一方面，挂谷猜想的难度之高也是大家公认的。即便是布尔甘和陶哲轩这样的菲尔兹奖得主，以及沃尔夫、古思和卡茨这些解决过众多难题的大师，对挂谷猜想研究多年，也只是取得部分进展。这都增加了该猜想作为一个困难问题的名声。

当然，真正决定谁获得菲尔兹奖的还是菲尔兹奖评委会。但是，评委会一定会非常认真地考虑王虹的情况，而且调和分析界也必然会全力支持她。作为调和分析年轻一代最杰出的代表，如果王虹能获得菲尔兹奖，将标志着整个数学界对该领域所取得成就的认可，为挂谷猜想这个世纪难题增添新的传奇。

【补记】在本文接近完稿之际，数学界又传出一个重大成果：芝加哥大学的邓煜与密歇根大学的哈尼（Zaher Hani）和马骁在预印本网站上贴出论文，宣布解决了狭义的希尔伯特第六问题。其中邓煜跟王虹是北大数学07级同学，哈尼则跟扎尔于同一时期在陶哲轩门下读博。（王虹大二转入数学系，邓煜则在大三转学去麻省理工学院，两人有一年交集。哈尼2007-2011年在加州大学洛杉矶分校读博，扎尔则是2008-2013年。）如果两篇论文均正确，那么就是这两对同窗在一周内各自公布了划时代的成果，堪称一段佳话。

【致谢】作者感谢张瑞祥教授阅读本文初稿并提出大量宝贵意见。

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