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数据库数学基础75个问题
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编者语：这是波兰杂志Fundamenta Mathematicae从创刊开始vol.1-34记载的75个公开问题，其中一些已经被解决。这些问题代表了自19世纪末康托尔创立朴素集合论以来数学基础领域的发展。原文是法语与德语，整理后的译文如下。
问题
点集何时是点集的一对一连续像（不一定是双边连续的），以及何时是的一对一连续像？这样的集合和是否必然同胚？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
拓扑齐性的有界平面连续区域(译者注：连续区域等同于紧致连通集合。)是否必然同胚于圆周？（当对中的任意一对点，存在一个从到其自身的双边连续的变换将变换为时，集合被称为拓扑齐性的。）
克纳斯特（B. Knaster）和库拉托夫斯基（C. Kuratowski）的问题。
一个线序集，没有跳跃或间隙，包含至多可数互不重叠的区间，并且每个区间都包含超过一个点，那么它一定是连续统吗？
苏斯林（M. Souslin）的问题。
一个区间是否可以分解为个没有公共点的非空博雷尔可测集之和？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
是否存在一个不可数线序集，使得每个与同胚的线序集都有勒贝格测度零？如果再假设，能否证明这样一个集合存在？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
6)不使用连续统假设（），我们能否证明勒贝格测度零的个集合之和不一定是勒贝格测度零？第一纲的个集合之和不一定是第一纲？个（）集合的乘积不一定是（）集合？(译者注：此处包括下文中的（）都代表苏斯林集。见问题3)。)
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
如果没有连续统假设，我们能否构造一个平面集，该集在与横坐标轴平行的任何方向上都具有勒贝格测度零，并且其补集在与纵坐标轴平行的任何方向上也都具有勒贝格测度零？
施坦因豪斯（H. Steinhaus） 的问题。
我们能否构造一个实数集合，使得中任意两个数的和、差、积与商（除以0除外）都属于，并且是不可数的，但却不是实数集？
马祖尔克维奇（S. Mazurkiewicz）的问题。
（）集合的补集的势是多少？
鲁金（N. Lusin）的问题。
注意：线性集（）是平面可测集在一条线上的正交投影。鲁金证明了与集（）互补的不可数集的势是或，但我们不知道它是否是（在的情况下）。
是否存在第二类函数，它不是几乎处处连续函数的极限？我们能否给出一个函数的例子，它不是分段连续函数的极限？(译者注：在贝尔的分类中，第二类函数是第一类函数的逐点极限。第一类函数本身是连续函数的逐点极限。)
费尔希顿（T. Feosztyn）与谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
是否存在一个弗雷歇类（即定义了极限的类）(译者注：这里所说的弗雷歇类应当不能具有余可数拓扑。)，其基数大于连续统，其中该类中任意不可数子集都至少包含一个荟萃点？(译者注：荟萃点是指在集合中，每个包含该点的邻域都包含集合中的不可数多个点。)
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
一个线序集，其任意良序子集（递增或递减）都是至多可数的，是否必然具有不大于连续统的势？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
是否存在一个平面闭集，它不是两个没有公共点的闭集之和，而是可数多个没有公共点的闭集之和？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
维空间中与任意连续统同胚的连续统是否必然包含一条简单弧（即区间 的一一连续映射的像）？
马祖尔克维奇（S. Mazurkiewicz）的问题。
是否存在一个连续统，其中任意子集在连续映射下的像都是不可分解的？（如果一个连续统不是两个不同于它的连续统之和，则称该连续统是不可分解的。）
克纳斯特（B. Knaster）和库拉托夫斯基（C. Kuratowski）的问题。
是否存在一个无界连续统，它是其真饱和子连续统的和，其中任意两个子连续统不相交？
当不存在不同于和，包含且包含在中的连续统时，我们称的实子连续统 是饱和的。
库拉托夫斯基（C. Kuratowski）的问题。
第一类函数取不到的那些值的集合的势是多少？(译者注：见问题10)。)
（该问题等价于鲁金, 卷p.224中的问题9。只需考虑具有可数多个不连续点的函数即可。）
小于连续统的势的线序集必然是第一贝尔纲的吗？
鲁泽尔维奇（S. Ruziewicz）的问题。
每个双连通集中是否存在一个点，使得集合不包含连通集？
注意：根据克莱因的定理（本卷，第238页），连通集中不可能存在超过一个具有此问题中性质的点。另一方面，我们知道，如果存在这样的点，则集合是双连通的，即它不是包含多个点的两个不相交连通集之和（参见克纳斯特和库拉托夫斯基，Fund. Math. II，第214页。）
库拉托夫斯基（C. Kuratowski）的问题。
设是定义在维欧氏空间中任意勒贝格可测集上的函数，满足以下条件：
。 对于测度为1的某个集合，。 如果，则。 如果和可重叠，则。 函数一定是集合的勒贝格测度吗？
（对于和，答案是否定的，正如巴拿赫在即将发表于本期刊第IV卷的回忆录中所证明的那样。）
鲁泽尔维奇（S. Ruziewicz）的问题。
给定一组在任意区间上都不是第一纲的实数，是否存在一个分解：，，使得和都不是在任意区间上第一纲的？
注意：如果假设具有贝尔性质（按本卷第319页的定义），可以给出肯定的答案。(译者注：我们称集合具有贝尔性质，如果与开集仅相差一个疏朗集。)谢尔宾斯基还指出，如果使用连续统假设（即），该问题也有肯定的解。
库拉托夫斯基（C. Kuratowski）的问题。
如果每个与同胚的集合都是勒贝格可测的，那么我们称线性集为完美可测。完美可测集类的势是多少？完美可测集的补集是否总是完美可测的？
乌雷松（P. Urysohn）的问题。
是否存在一个在所有点处间断的实变函数，且对于所有实数都有
施坦因豪斯（H. Steinhaus）的问题。
满足贝尔条件的函数是否必然勒贝格可测？满足贝尔条件的实变函数的势是多少？（我们称函数满足贝尔条件，如果它在除开一个第一纲集的任意完美集合上连续）(译者注：一个拓扑空间中非空、稠密且每个点都是聚点的集合称作是完美集。)
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
如果任意直线都与平面集相交于两点（且仅两点），那么该平面集是否是博雷尔可测的？（马祖尔克维奇(华沙科学学会志，第VII册，第382页，1914年。)和罗森索尔(巴伐利亚科学院数学与物理分部会议记录，第1卷，第223页，1922年。)利用策莫罗定理证明了此类集合的存在。）
第3类函数是否总是三个第1类函数的复合，也就是说，对于任何第3类函数，是否存在三个第1类函数、和，使得对于所有实数都有(译者注：第三类函数是指可以通过迭代构造，将第一类函数的极限生成第二类函数，再将第二类函数的极限生成第三类函数得到的函数。)
鲁金（N. Lusin）的问题。
博雷尔线性集中点的距离的集合是否总是博雷尔可测？(因此是所有实数的集合，其中和属于。我们可以证明存在勒贝格可测的集合，使得 不是勒贝格可测的。)
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
如果是博雷尔可测的平面集，我们用表示所有实数的集合，使得直线与集合相交于一个不可数点集。集合是否必然是勒贝格可测的？（可以证明，所有实数的集合，使得直线与博雷尔可测集仅相交与一个可数点集，始终是勒贝格可测的。）
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
设是一个平面集合，例如闭集（或者更一般地，可测集）。如果关于中的一个点存在一条直线段，使得这条线段上的所有点（除点外）都不属于，那么称这个点是线性可达的。是否可以证明，所有线性可达点组成的集合总是勒贝格可测的？
乌雷松（P. Urysohn）的问题。
如果是任意给定的函数（无论可测与否），那么使得如下性质成立的所有点构成的集合的测度是多少？
鲁泽尔维奇（S. Ruziewicz）的问题。
命题——如果是超限基数，那么——是否等价于选择公理？
参阅本卷中我的注记“论某些与选择公理等价的命题”，第147页。
塔斯基（T. Tarski）的问题。
每个点均线性可达的平面闭集是否必然具有勒贝格测度零？
巴拿赫（S. Banach）的问题。
如果存在直线段，使得其上的所有点（点除外）都在之外，则称中的点是线性可达的。乌雷松证明了平面闭集的所有线性可达点的集合始终是苏斯林集（），但可能不是博雷尔可测的。但我们不知道平面集的所有线性可达点的集合是否是勒贝格可测的（参见问题29），Fund. Math.卷V，第337页）。
苏斯林集（）的补集的一对一连续映射（在某种意义上）必然是同胚吗？
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
我们称一个-博雷尔可测的线性集为不可约的，如果它在任意区间中都不属于类的博雷尔可测集。所有-博雷尔可测的不可约集合的拓扑型的势是多少？(译者注：设是实数集的一些子集。的拓扑型是关于同胚等价关系的商集。)
我们称一个集合为不可约的，如果它在任意区间中都不博雷尔可测。所有不可测不可约集合的拓扑型的势是多少？
亚历山德罗夫（P. Alexandroff）和乌雷松（P. Urysohn）的问题。
如果的每个连续像都是勒贝格可测的，则我们称线性集在狭义上完美可测。与狭义上完美可测集合互补的集合是否总是同胚像？
参见乌雷松（Fund. Math. 卷IV，第368页）的问题22，由拉夫伦季耶夫（Fund. Math. 卷VI，第159页）解答。
尼科迪姆（O. Nikodym）的问题。
根据苏斯林的定理，如果是一个 () 集合，是一个（）集合的补集，并且如果，则存在一个博雷尔可测集，使得 (参见鲁金和谢尔宾斯基所著Journ. of Math. 第II卷 (1923) 第60页；另参见 Bull. Acad. Krakow，1918，第40页。)。该命题有一个对偶命题，也就是说，如果是（）集合的补集，并且是一个 () 集合，使得，是否总是存在一个博雷尔可测集，使得?
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
仅包含一条简单闭曲线的有界若尔当连续区域是否与其某个实子连续统同胚？(译者注：若尔当连续区域是指包含若尔当曲线的紧致连通集。)
扎兰凯维奇（K. Zarankiewicz）的问题。
面积相等的正方形和圆形能否分解为有限多个不相交的子集之和，其中对应的子集全等？
塔斯基（T. Tarski）的问题。
是否存在一个平面闭集，其中线性可达点的集合不是博雷尔可测的？（在该空间中，这一问题的答案是肯定的）。(译者注：这一问题指 Fund. Math.卷VII，1925，第250页。)
尼科迪姆（O. Nikodym）的问题。
如果是平面集，则所有实数的集合，使得直线与集合仅相交于一点，一定是苏斯林集 () 的补吗？
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
如果是可数线性集序列，其中每个线性集都是与苏斯林集（）互补的平面闭集的投影，则集合是否也具有相同的性质？
谢尔宾斯基（W. Sierpinski）的问题。
每个连续统中是否都存在一个连续统，使得集合是连通的？
克纳斯特（B. Knaster）和扎兰凯维奇（K. Zarankiewicz）的问题。
设是空间的一个闭集，它与三维欧几里得空间中的某一平面集合同胚。是否中的每一个点都在中可达？
（在空间中，点被称为可达的，如果存在一个连续统，使得。）
克纳斯特（B. Knaster）的问题。
(译者注：由鲁金提出的问题44和由斯坦豪斯提出的问题45，原本应该出现在第XI卷第308页，已不幸丢失，杂志并未记载原因。)
要求列出不同齐性概念之间的逻辑关系，特别是当这些概念涉及到局部紧致集合时。特别是，当这些集合被假设为连通的和/或局部连通的时，是否存在某些关系？
（参见凡丹齐格，“论拓扑均匀连续体”，第15卷，第102、103页）。
凡丹齐格（D. van Dantzig）的问题。
每个连通、无界的维流形都是对合齐次的吗？(译者注：一个连续映射称作是对合，如果它与自身的复合是恒等映射。)
（参见凡丹齐格，第104页，{}^7。）
凡丹齐格（D. van Dantzig）的问题。
如果存在一个无限循环群在拓扑群中稠密（这种情况下它是交换的并且可以写成加法），我们称该拓扑群为单性群；如果每个满足柯西收敛准则 的序列在群中都有一个极限元素，我们称该拓扑群为完备的。完备单性群是否一定是紧致的？(译者注：应对条件加以限制，如存在稠密的无限真子循环群，否则循环群就是一个平凡的反例。。)
（参见第116页 {}^{29}a))
凡丹齐格（D. van Dantzig）的问题。
令和为两个皮亚诺连续统（= 区间的连续像），为它们的拓扑积（= 当且时，所有对或组成的空间）。
如果连续统和都具有这样的性质，即在这个连续统到子集的每个连续变换中都存在一个不动点，那么是否也具有相同的性质？
如果连续统和都是单一致的（=每次将该连续统分解为两个子连续统时，这两个子连续统的公共部分都是连通的），那么是否也是单一致的？
库拉托夫斯基（C. Kuratowski）的问题。
拓扑圆是唯一的齐性局部连通曲线吗？（曲线=一维连通紧空间。如果一个空间的两个点和都存在一个从到的同胚，则称该空间是齐性的）。在平面上，圆是唯一的齐性局部连通曲线。
（参见马祖尔克维奇，\textit{Fund. Math.} V，第137页）。
门格尔（K. Menger）的问题。
是否存在任意多甚至无限多个紧致的一维空间，它们两两一维不可比较？两个空间和称作是一维不可比较的，如果中没有任何一维子集（或中的一维子集）与（或）的任何一维子集同胚。例如，一条线段和一个没有子弧的连续统是一维不可比较的。（如果存在对或对两两一维不可比较的曲线，则存在紧致的一维空间，它们至少包含 或 单调的、-可加的、拓扑的、可紧化的子集族。）
（参见数学和物理月刊第 36 卷，第 207 页）。
门格尔（K. Menger）的问题。
是否存在一个连续统，使得任意连续统都是它的连续像？
哈恩（H. Hahn）的问题。
a) 每个绝对收缩空间是否可以分解为有限多个具有任意小直径的绝对收缩空间？ b) 是否每个 -集合都可以分解为有限多个绝对收缩空间？
（例如，在 Fund. Math. XIX，第222页中给出了绝对收缩和集的定义）。
在-维欧几里得空间中，是否每个子连续统，如果它切割并且能够通过任意小的变换（即通过一种连续映射，将中的每个点映射到中任意近的点）被转换为与其不相交的的子集，都是一个-维流形？
是否可以将每个位于并切割的线段图像，连续映射为自身且没有不动点？(译者注：这里的线段图指的是由线段组成的集合。)
博苏克（K. Borsuk）的问题。
设和是两个拓扑空间，且和分别是它们的平方（即例如由所有中的点对组成）。如果和是同胚的，是否意味着和也是同胚的？ 通过对这个问题的正面回答，我们可以推导出：如果是一个集合，且与任何 （）都不同胚，则对于，集合和也不会是同胚的；这一点为布劳威尔维数不变定理提供了证明，特别是在是一个区间的情况下。
乌拉姆（S. Ulam）的问题。
是否存在不包含任何有限维连续统的无限维连续统？(译者注：此处的连续统应理解为非空紧致连通拓扑空间。有限维连续统即。)
马祖尔克维奇（S Mazurkiewicz）的问题。
在势为的集合中，是否对的任意子集，都可以选取一个可数子集列，使得（其中是自然数的子序列，表示博雷尔完全极限集(译者注：即上极限集与下极限集的交。)）
（要求在不使用连续统假设的前提下证伪。）
豪斯多夫（F. Hausdorff）的问题。
两个具有贝尔性质的函数（即在任何完美集合上连续，当我们忽略相对于该集合的第一纲集时）的复合，是否还具有贝尔性质？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
令为笛卡尔平面自身所有同胚变换的集合，形式为：和我们用表示由所有属于的变换的所有有限叠加构成的群。平面本身的任意同胚变换是否总是可以用群中的变换来逼近？
对于维空间，仍然存在类似的问题。
乌拉姆（S Ulam）的问题。
设为平面集（更一般地，博雷尔集），其与所有轴平行线的交点都是闭集（更一般地，集）。在轴上的投影是否始终为博雷尔集？
斯皮拉辛（E Szpilrajsn）的问题。
62）实变量的（实）函数被称为对称连续，如果对于每个
此类函数的不连续点集可以是不可数的吗？它可以是任意预先给定的集吗？（很容易看出它们可以是任意预先给定的可数集。）
豪斯多夫（F. Hausdorff）问题。
两个紧致空间和具有相同的伦型，当且仅当存在从到的连续变换和从到的连续变换时，使得和（分别视为从到的变换和从到的变换）与恒等变换同伦。具有相同伦型的两个闭流形是否总是同胚的？
胡雷维奇（W. Hurewicz）的问题。
在中，是否存在两个可定向流形和，它们的补和是同胚的，而它们的同调环不是同构的？
令是从某个任意的抽象集合类构造出来的博雷尔集序列。已知条件（其中表示的直接后继）会导致对所有成立。设是满足这一条件的最小序数。对于哪些序数，存在使得？（参见Fund. Math. 卷XV，第284页）。
柯尔莫哥洛夫（A. Kolmogoroff）的问题。
对于任何紧致度量空间，弱性质是否蕴涵强性质？对于性质，问题相同。（有关定义，请参阅《数学年鉴》，第85卷，第119-129页和《杜克数学杂志》，第1卷，第1-18页）。
莱夫谢茨（S. Lefschetz）的问题。
线性集的性质 () 是否对于同态变换不变，更一般地，对于连续变换不变？（我们说集合具有性质 ()，当对于每个正数序列存在一个分解，使得当时，的直径不超过。参见Fund. Math. 第XI卷，第304页；第XV卷，第126页；第XXII卷，第310页。）
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
如果和是两个总是第一纲（即在每个完美集合上都是第一纲的集合）的线性集，则集合。（即，平面上所有点的集合，其中和）是否具有相同的性质？
斯皮拉辛（E Szpilrajsn）的问题。
当一个三维空间中的若尔当曲线在每一点都存在确定的切线时，是否必然存在一个参数化表示，使得这条曲线上任一点的笛卡尔坐标都可以表示为该参数的可导函数？并且，在此表示下，三个坐标函数的导数不会同时为零？
如果答案是否定的，那么重新提出问题：允许参数的一些零测集上的点不满足上述条件，是否仍然存在这样的参数化表示？
弗雷歇（M. Fr'echet）的问题。
是否存在一个线性集，使得每个线性解析集都是的连续（在某种意义上）像？
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
是否存在一个实变函数（无论可测与否）的无限序列，使得任何第二类实变函数都是中某个序列的极限？
（根据布尔斯坦的结果，这样的序列不能由仅可测函数组成 (参考数学物理月刊, 第28卷 (1917), 第107页。)）
谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 的问题。
在维笛卡尔空间（）中，是否存在一个总是第一纲的集合（即在每个完美集上都是第一纲的集合），其维数为正？
（胡雷维奇使用连续统假设证明了希尔伯特空间中存在一个不可数集，其中每个不可数子集都是无限维的(Fund. Math. 19（1932），第8页。)）。豪斯多夫注意到集合总是第一纲的。这很容易从每个可分度量空间都是中一个维数为的集合和一个第一纲集之和的事实得出。—— 因此，如果，则希尔伯特空间中存在一个总是第一纲且维数为正的集合 ）。
斯皮拉辛（E Szpilrajsn）的问题。
设在三维欧氏空间中，是立体球面的同态像，是直线段，其内部在的内部，两端在的边界内。是否存在一个同态映射将变换到，使得变换到的直径？
博苏克（K. Borsuk）的问题。
假设是包含给定集合的最小集族，并且对于运算和（可数并与交）封闭。是否存在一个可数集族，使得所有线性解析集都属于？
乌拉姆（S. Ulam）的问题。
是否存在一个无限集合（例如所有自然数的集合）以及一个函数，它将的每个子集映射到的一个子集，满足以下条件：
对于所有 ， 对于所有 ，， 对于任意 ，至少存在一个，使得 ， 至少存在一个集合 ，使得 。 如果将条件替换为更弱的条件（对于），那么答案显然是肯定的。
切赫（E . ech）的问题。
已解决的问题
点集何时是点集的一对一连续像（不一定是双边连续的），以及何时是 的一对一连续像？集合和是否必然同胚？
否。库拉托夫斯基给出了否定的答案，Fund. Math. 卷II，第158-160页。
一个区间是否可以分解为个没有公共点的非空博雷尔可测集之和？
是。鲁金和谢尔宾斯基在 Comptes Rendus一书中给出了肯定的答案，卷175，第357页（1922年8月21日的注释）。
6，第三部分）能否证明个集合（）的乘积不一定是集合（）？
是。鲁金和谢尔宾斯基给出了肯定的答案，Journ. de Math.1923（作者证明了与()集合互补的集合不一定是()集合。）
我们能否构造一个实数集合，使得中任何两个数的和、差、积与商（除以0除外）都属于，并且是不可数的，但不是实数集？
是。苏斯林给出了肯定的答案, Fund. Math. IV, p.311。
10，第一部分） 是否存在第二类函数不是几乎处处不连续函数的极限？(译者注：此处应为几乎处处连续，见问题10）。)
是。扎克瓦瑟给出了肯定的答案。
一个线序集，其所有良序子集（递增或递减）都是至多可数的，是否必然具有不大于连续统的势？
是。乌雷松给出了肯定的答案，Fund. Math. 。
是否存在一个连续统，使得其中任意子集在连续映射下的像都是不可分解的？（如果一个连续统不是两个不同于它的连续统之和，则称该连续统是不可分解的。）
是。克纳斯特给出了肯定的答案, Fund. Math. III pp. 247-286。
是否存在一个无界连续统，它是其真饱和子连续统的和，其中任意两个子连续统不相交？ 是否存在一个连续统，其任何子连续统都是不可分解的？
是。克纳斯特和库拉托夫斯基给出了肯定的答案，Fund. Math.
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