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菲尔兹奖得主陶哲轩提出了一种设想：数学中最著名的未解难题之一得到了“解决”，但数学却因此变得更糟。

在六篇博文中，陶哲轩以纳维-斯托克斯方程的全局正则性问题为例——这是一个千禧年大奖级别的难题，探讨的是控制流体流动的方程是否会在有限时间内螺旋式地陷入奇点——论证了人工智能系统解决一个里程碑式的问题并不一定意味着该领域的胜利。陶哲轩指出，如果解决方案以封闭的黑匣子形式出现，背后的人工智能公司对答案的路径秘而不宣，那么这种“解决方案”实际上可能会扼杀问题本身，使其无法成为未来进步的源泉，而非推动进步的契机。 

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这标志着语气的显著转变。陶哲轩多年来一直是积极乐观、勇于尝试人工智能工具的数学家之一，他在开篇便指出，纳维-斯托克斯方程的正则性直到最近都被认为是人工智能辅助数学应用的最佳案例之一。

一个其实没人需要解决的问题

陶谨慎地指出，几乎没有人会因为纳维-斯托克斯方程的正则性问题而彻夜难眠，这其中的实际意义不大。计算流体动力学已经是一门成熟的工程学科，在天气建模和气候科学领域有着广泛的应用，无论理论证明最终如何，其优势和不足都已被充分理解。一个清晰的正则性结果，或者一个具体的方程组崩溃的例子，固然令人欣慰，但并不会改变气象学家对下周风暴的预测方式。

在陶哲轩看来，真正值得数十年研究该问题的，是这些尝试一路走来所取得的成果。他列举了勒雷-霍普夫弱解、加利亚尔多-尼伦伯格-拉迪任斯卡娅不等式、普罗迪-塞林部分正则性定理、比尔-加藤-马伊达爆破准则以及埃斯考里亚扎-塞雷金-什韦拉克条件正则性结果，作为人们尝试解决该问题却屡屡失败后涌现出的基础性工具。他还提到自己将这些方程与图灵完备的“流体计算”联系起来的工作，这项工作意外地开启了与辛拓扑的联系。他补充道，即使在没有直接技术联系的情况下，湍流理论这一更广泛的领域也受到了这些努力的哲学影响。

寻找爆炸物的可行方案

陶哲轩表示，数学界的共识已经转变：现在普遍认为纳维-斯托克斯方程的正则性是错误的，并且存在一些特定的初始条件，这些条件会在有限时间内导致方程发散。他概述了一个四步策略，这个策略看起来越来越可行：

1. 设计一个近似自相似的模板（“ansatz”），用于表示有限时间爆破解应该是什么样子。
2. 用数值方法找到一个近似解，该解满足假设，误差项很小，可以计算。
3. 证明在正确的重整化坐标系中，该假设围绕该数值解是稳定的——这意味着如果误差足够小，原则上可以将其调整为精确解。
4. 确认实际误差是否在稳定性论证所要求的阈值范围内。

陶说，这些步骤本身都极其复杂，而且彼此相互依赖。许多候选模板直接失败——有些违反能量守恒定律——而另一些则需要经过大量的计算才能排除。

陶哲轩认为，这正是那种工作流程的精髓所在：结合机器学习驱动的模拟、严谨的区间算术、形式化验证以及由机器学习模型生成的候选解——所有这些都由人类数学家从每次失败的尝试中学习并指导——或许能够破解这个问题。他预计最终的证明将极其复杂，以至于任何人都无法手动检查，而精益形式化过程可能会成为有史以来最大的形式化证明文件之一。

哪里出了问题

陶哲轩关注的并非最终证明的规模或丑陋程度，而是谁能看到通往证明的道路。他认为，这项练习的价值从来都不在于最终的定理，而在于过程：从一个假设出发，精确地找出它失败的原因，进行调整，然后不断迭代——所有这一切都是在事先不知道最终结果的情况下进行的，因为提前知道答案会扼杀探索“死胡同”的动力，而这些“死胡同”往往是富有启发性的失败。

陶哲轩现在担心的是，一个由海量计算资源支持的自主人工智能系统，会在内部私下运行整个迭代循环，然后直接提交一个最终的假设和证明——而运行该系统的公司则会将实际的搜索过程完全隐藏起来。陶哲轩表示，在这种情况下，数学中最著名的未解难题之一虽然得到了解决，但整个领域却几乎没有从中获得任何益处。第三方或许可以在事后尝试从最终的证明中逆向工程出一些见解，但陶哲轩认为，这远非获得相同理解的有效途径。 

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他更广泛的观点在于纯数学问题的真正意义所在。与治愈疾病或提高发动机效率不同，像纳维-斯托克斯方程正则性这样的问题，数学家们通常并非因为迫切想要得到某个具体答案而去研究——而是因为研究过程往往会产生新的工具和思想，这些工具和思想的影响力远超最终结果本身。陶哲轩警告说，如果过早地、晦涩地、缺乏方法透明度地解决这个问题，那么这项研究的积极意义可能会转变为消极意义。

背景：人工智能在数学领域取得了实实在在的胜利。

陶哲轩的警告正值人工智能在数学领域取得一系列引人注目的重大胜利之际。谷歌DeepMind的AlphaProof Nexus自主破解了数学家保罗·埃尔德什提出的著名未解难题列表中的九个此前未解的难题——其中两个难题曾困扰数学家长达56年之久——而每个难题的计算成本仅为几百美元。此外，每一步都由Lean软件进行双重检查，该软件能够逐行验证证明的逻辑。Harmonic公司的Aristotle也破解了同一列表中一个大约30年前的难题，但当人们发现这只是埃尔德什提出的两个相关难题中较简单的一个时，数学家们对这一成就的反应有所降温。 OpenAI 的 GPT-5.2 被认为独立解决了一个此类问题，并且还破解了另一个搁置了 44 年的未解之谜——陶哲轩本人称这一结果“或许是迄今为止人工智能解决未解数学问题的最明确的例子”，即便后来发现有人早在几十年前就用不同的方法找到了类似的答案。

然而，并非所有的新闻标题都经得起推敲，而这正是陶哲轩的重点所在。OpenAI 的早期模型 GPT-5 曾被谷歌 DeepMind 的 CEO Demis Hassabis 公开批评，因为事实证明该模型根本没有解决其中几个未解难题——它只是找到了一些隐藏在网络上的现有答案，甚至连官方题目列表的维护者都未曾发现。OpenAI 的下一个模型Astra 后来声称解决了 10 个难题，并且这次每个难题都提供了机器验证的证明。几乎在同一时期，Anthropic 的 Claude Fable 5 也因找到一个相当简短的反例而被认为推翻了一个关于某种数学函数的 87 年之久的猜想。再加上 OpenAI 和谷歌的模型在2025 年国际数学奥林匹克竞赛中都取得了金牌级别的成绩——这项赛事长期以来被认为人工智能无缘——就不难理解为什么陶哲轩一直强调透明度的重要性了。这些“突破性成果”中有好几项在公布后的几天内就被撤回或纠正，而这种公开的反复讨论正是封闭的、黑箱式的证明永远不必经受的审查。

陶哲轩对数学中人工智能的解读不断演变

纳维-斯托克斯方程的讨论并非凭空而来。陶哲轩一直在公开场合追踪他自己对人工智能数学能力的评估是如何快速修正的。正如我们之前报道的，就在2024年9月，陶哲轩还认为人工智能的数学能力相当于一个“平庸但并非完全无能”的研究生。到了2026年初，在加州大学洛杉矶分校纯粹与应用数学研究所举办的一次会议上，他的评估发生了显著变化，他宣布人工智能已经准备好在数学和理论物理领域大展拳脚，理由是人工智能现在节省的时间比浪费的时间更多。同一篇文章还指出，随着人工智能降低解决常规问题的成本，数学家的稀缺技能变成了选择正确的问题、设计工作流程和检查输出——这与目前大多数博士项目旨在培养的技能截然不同，这也是陶哲轩此前曾单独提出研究生数学教育需要重新思考的原因之一。

结合纳维-斯托克斯方程的论述，陶哲轩近期评论的主线是一致的：他并非认为人工智能不能或不应该进行严肃的数学运算——他自己也认为人工智能越来越能做到这一点。他关注的重点更为狭窄且更具结构性——结果的产生和公开方式决定了它是推动了该领域的发展，还是仅仅为该领域的一个里程碑画上了句号。一个具有里程碑意义的证明，如果以透明的方式产生，并且人类能够追踪过程中失败的尝试和死胡同，那么它就能拓展数学的边界。陶哲轩认为，同样的证明，如果是在封闭的、专有的人工智能系统中产生的，则存在被数学“破解”的风险，而该领域却不会因此取得任何进展。

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