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过去几天，数学界再次因为Navier-Stokes方程而沸腾。但这一次，事情比有人声称解决了千禧年难题更加复杂。一边，是纽约大学青年数学家 Tristan Buckmaster 与 Anthropic 研究员 Levent Alpöge 公布的一系列流体方程爆破结果，并大量借助人工智能完成证明、形式化和整理；另一边，是 OpenAI 几乎同时宣布，其 AI 系统已经找到了解决 Navier-Stokes 问题的新路径，并声称获得了完整证明，论文竟然长达165页。

更引人关注的是，Buckmaster 随后公开质疑 OpenAI 在研究过程中可能接触到了他们尚未公开的研究信息。而就在争议迅速升温之际，菲尔兹奖得主 Terence Tao（陶哲轩） 对 Buckmaster-Alpöge 的工作给出了一个相当重要、但又非常谨慎的评价：这是一个“remarkable achievement”——非凡的成就。 更值得注意的是，Tao 认为目前这套方法向 Navier-Stokes方程推进时，“没有看到明显的根本性障碍”。这句话，或许比任何Navier-Stokes已经被解决的标题都更值得认真理解。此前我们有系列推文谈及AI与数学：

Navier-Stokes问题：美国数学学会的一份最新声明

Navier‑Stokes风波

AI卷入顶尖数学家的流体力学突破：Buckmaster称OpenAI试图争夺成果署名

菲尔兹奖得主邓煜的一条朋友圈：AI 数学，究竟能走多远？

陶哲轩最新回应：Navier-Stokes 没有新进展

如果AI解决了Navier–Stokes，我们真的应该高兴吗？

他们究竟证明了什么？

首先必须把一个最容易被媒体标题混淆的问题说清楚：Buckmaster 和 Alpöge 并没有宣布解决 Clay 千禧年问题中的三维不可压缩Navier-Stokes方程。 他们近期的工作，主要针对的是带有光滑外力的流体方程，并证明了若干方程存在有限时间爆破机制。涉及的方程包括：

• 三维不可压缩 Euler 方程；
• Boussinesq 方程；
• 不可压缩多孔介质（IPM）方程。

这里最重要的关键词是：光滑外力。此前，Luis Martínez-Zoroa 与 Diego Córdoba 等人的工作已经展示了某些流体方程在外力作用下发生爆破的机制。但此前的外力通常需要较低的正则性。Buckmaster 与 Alpöge 推进了一步：他们试图把爆破机制推进到光滑外力的情形。这并不是一个简单的技术修改。在偏微分方程中，“外力足够光滑”意味着你不能简单地把奇异性藏进外力里。真正困难的问题变成了：能否从一个高度正则、光滑的初始状态和光滑外力出发，让方程自身的动力学产生有限时间爆破？ 这正是这项工作的数学意义所在。

最值得关注的，其实是他们发现的“放大机制”

如果把复杂的数学技术暂时放在一边，这组工作的核心思想可以用一个非常直观的图景来理解。想象一个流体系统中同时存在两种尺度：大尺度的背景流动，以及叠加在其上的极细微、高频的小尺度扰动。通常人们会担心，小尺度扰动可能反过来破坏大尺度结构，使整个构造无法持续。而 Buckmaster-Alpöge 的构造试图实现一种非常特殊的动力学：大尺度背景基本保持自身结构，而它不断放大小尺度扰动。 于是，一个很小的高频波纹，在背景流的作用下不断增长。当它最终变得足够强大，开始主导系统之后，新的尺度又被建立起来。然后：下一层更高频的扰动开始增长。 如此反复。尺度越来越小，增长越来越快。如果这个过程能够以足够快的速度级联，就可能在有限时间内完成无限多次尺度转移。最终产生：有限时间爆破。 直观上看，这与凸积分方法中“通过不断引入更细尺度结构来构造复杂解”的思想存在明显的相似性。但这里有一个非常重要的区别：这不是简单地套用传统凸积分。真正困难的地方，在于如何设计一种动力学，让粗尺度结构持续有效地放大小尺度结构，同时控制所有误差，并最终把整个无限级联过程严格封闭起来。这也是为什么论文会非常长。例如，其中 Boussinesq 方程的相关工作，据报道达到数十页。真正困难的不是想出一个漂亮的机制”。而是：把这个机制变成一个经得起逐项检查的数学证明。

为什么 Terence Tao 的评价特别重要？

在这场争论中，Tao 的出现具有特殊意义。他不是在宣布：“Navier-Stokes已经解决。” 恰恰相反，他非常谨慎。Tao 的核心判断是：目前没有看到这套方法向 Navier-Stokes 推进时存在明显的根本性障碍。 这句话在数学家的语言里，分量很重。但它与“距离解决Navier-Stokes已经不远”完全不是一回事。数学研究中，“没有发现明显障碍”和“证明一定能够完成”之间，隔着非常遥远的距离。Tao 的判断更接近于：这条道路看起来是真正值得走下去的。 而不是：这条道路已经走到了终点。 据相关介绍，Tao 还直接与 Buckmaster 进行了交流。他认为，这项工作中真正值得关注的地方，并不只是某几个方程得到了爆破结果，而是其中可能蕴含一种可以进一步推广的新型证明技术和动力学构造。换句话说：重要的可能不是某一个定理，而是一套新的方法论。

AI到底做了多少？

这可能是整个事件中最容易被低估的部分。Buckmaster 和 Alpöge 的工作并不是传统意义上数学家用电脑检查一下计算。 人工智能在其中扮演了相当深入的角色。 他们使用了包括 OpenAI Codex 和 Anthropic Claude 在内的大语言模型，帮助进行证明构造、技术推演、代码和形式化工作。最终，一部分证明还被放进 Lean 中进行形式化验证。这里必须区分两个概念。AI生成证明内容，与Lean验证一个形式化证明对象是否符合给定公理和规则 不是同一件事情。前者意味着 AI 可以参与数学推理、寻找构造、处理技术细节。后者意味着：在形式化系统所接受的规则之下，这个证明的逻辑链条可以由机器逐步检查。 因此，这件事情真正令人震动的地方并不是：AI会做数学题了。而是：AI开始参与非常复杂的研究级偏微分方程证明。 而且研究对象并不是简单的竞赛题。它涉及非线性偏微分方程、奇异性形成、多尺度分析以及大量技术估计。如果这一模式最终能够稳定复制，那么数学研究的生产方式可能会发生变化。

但最敏感的故事，是 OpenAI

真正让这件事情从数学新闻变成学术事件的，是随后出现的另一条线索。OpenAI 几乎同时在推进自己的Navier-Stokes研究。Buckmaster 方面随后表示，他们了解到自己尚未公开的研究进展似乎已经传到了 OpenAI。而 OpenAI 随后声称，其系统已经取得了Navier-Stokes问题上的重要突破。于是，一个极其敏感的问题出现了：如果一个 AI 系统曾经接触过某位数学家的研究信息，那么它后来产生的“新发现”究竟有多大程度属于独立发现？ 这已经不是一个单纯的数学问题。

它涉及：

• AI 训练数据的边界；
• 用户与模型之间的研究数据；
• 未发表成果的知识产权与学术优先权；
• AI辅助研究中的作者身份；
• 机器重新生成已有知识时的原创性；
• 以及未来数学研究中“独立发现”究竟应该如何定义。

Buckmaster 在自己的声明中尤其谨慎。他明确表示：自己没有看过 OpenAI 的证明，也不知道 OpenAI 的模型究竟做了什么，更不知道他们是否使用了自己的数据。 因此，严格来说，目前不能把这件事情简单写成：OpenAI 偷走了 Buckmaster 的证明。 这是一个远远超出目前公开证据范围的结论。真正可以确定的是：双方对研究过程、信息接触以及学术优先权产生了严重争议。 而这场争议仍然需要更多公开证据才能得到判断。

最值得警惕的，是AI发现这个概念本身

过去我们讨论人工智能与数学时，通常问的是：AI能不能证明一个定理？现在这个问题已经开始变得不够用了。真正困难的问题正在变成：如果 AI 找到了一个数学家没有想到的证明，它是谁的发现？ 假设一个数学家向 AI 提出问题。AI搜索了巨大的训练语料，又结合当前上下文生成新的思路。数学家发现其中一个思路有效，于是继续修改。另一个 AI 又把它形式化。最后 Lean 完成机器验证。那么这项成果究竟应该归属于：数学家？AI开发者？训练数据贡献者？还是所有参与这个过程的人？传统数学的作者制度，是建立在一个非常明确的假设之上的：研究者知道自己为什么得到了这个结果，也知道结果来自哪里。但生成式 AI 正在打破这一前提。当一个模型能够从海量数学知识中提取、组合、变形，再产生一个人类此前没有明确写下来的证明时，“原创性”的定义就会变得复杂。而Navier-Stokes事件恰好把这个问题提前推到了聚光灯下。

真正值得关注的，也许还不是 Navier-Stokes

对于数学界而言，这次事件当然与Navier-Stokes问题直接相关。但从更长远的角度看，它可能意味着另一件事情：AI正在从“数学助手”逐渐变成“数学研究参与者”。

过去，计算机主要负责：计算、符号运算、数值实验；后来，它开始负责：定理证明、形式化验证。而现在，它开始尝试：寻找构造、发现证明路线、处理复杂技术细节。 这意味着未来数学家的工作可能逐渐发生变化。一个研究者不再需要亲自完成每一个技术估计。他可能更多地负责：

提出问题、选择方向、设计结构、判断哪些结果真正重要，以及验证 AI 给出的思想是否具有数学意义。

这并不会让数学家变得不重要。恰恰相反。当机器能够生成越来越多的可能证明时，真正稀缺的东西可能变成：判断。

什么是新思想？

什么只是已有理论的重新组合？

什么是真正的突破？

什么只是模型生成的漂亮幻觉？

什么值得写进论文？

什么能够推广到另一个方程？

这些问题，依然需要数学家的判断力。

那么，Navier-Stokes 真的有希望了吗？

如果只根据目前公开的信息，最准确的回答仍然是：还没有解决。 Clay 千禧年问题所要求的是三维不可压缩 Navier-Stokes 方程在适当条件下的全局存在性与光滑性问题。而目前讨论的 Buckmaster-Alpöge 工作，是关于若干流体方程在光滑外力作用下的爆破构造。它的重要性毋庸置疑。但从“光滑外力下的爆破”走到真正的无外力三维Navier-Stokes方程，仍然存在巨大的数学距离。Tao 所说的“没有明显的根本性障碍”，值得重视；但它绝不是一个已经完成的证明。同样，OpenAI 所声称的突破，也需要经过数学界独立专家的详细检查，才能真正判断其数学有效性与创新性。所以现在最合适的态度既不是狂热宣布：“AI解决了Navier-Stokes！”也不是简单否定：“这只是炒作。”真正值得做的事情，是把证明拿出来。让数学本身说话。

数学真正的检验，最终只有一个

这场风波有一个非常有意思的地方。媒体关心的是：谁先发现？谁用了谁的数据？AI到底有多强？谁应该获得功劳？这些问题当然重要。但对于数学家而言，最终还有一个更简单、更残酷的问题：证明到底对不对？ 如果证明正确，那么无论它最初来自人脑、机器、对话还是某种混合过程，它最终都会成为数学的一部分。如果证明错误，那么再大的计算量、再漂亮的宣传、再惊人的标题，都无法改变这一点。而如果未来 AI 真正参与解决了Navier-Stokes问题，那么历史真正需要记录的，也许不仅仅是：“AI解决了一个千禧年难题。”而是 人类第一次与机器共同完成了一项此前被认为需要人类独立创造力才能完成的数学发现。 这才可能是这场风暴真正的历史意义。目前，

一切仍在进行；

证明还需要验证；

争议还需要证据；

而 Navier-Stokes 问题，依然在那里，等待数学给出最终答案。

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