完全正性和共轭类

发布时间：2026-04-11来源：中国科学杂志社

何旭华，George Lusztig

摘要

代数群是数学中连接代数、几何与表示论的核心对象，而对其中“对称性”的研究，往往能揭示出深刻而优美的数学结构。本文深入探讨了代数群中一类特殊元素——全正元素——的奥秘，揭示了它们与共轭类之间深刻的互动关系，并提出了关于这些元素结构分解的重要猜想。

研究背景

“全正性”这一概念看似抽象，但其根源可追溯至古老的线性代数。20世纪30年代，数学家们发现，所有子式都为正数的矩阵具有诸多优美性质。后来，著名数学家Lusztig将其推广到一般的约化代数群中，定义了“全正半群”，这一结构与表示论、代数、高维Teichmüller理论、组合数学、数学物理等有着紧密的联系。

对这一类群元素的精细刻画，离不开Bruhat分解——一种将群元素分解为若干标准乘积的方式。Bruhat分解的本质是对线性关系的系统描述，其思想渊源可追溯至求解多元线性方程组的高斯消元法，而高斯消元法的核心算法，早在两千年前的中国古代数学经典《九章算术》中便已出现。

另一方面，代数群中的共轭类则是描述“高次”性质的利器。如果说线性关系关注的是元素在某种基下的具体表达，那么共轭类则关注那些在相似变换下保持不变的内在属性，例如特征值、特征多项式等。它刻画了元素在群中“更深层”的结构，是理解群作用、分类群元素的核心工具。

一个耐人寻味的事实是，共轭类的运算天然地涉及取逆：当我们对元素进行共轭时，其逆元素也会随之出现。然而，在代数群中，取逆运算通常会将“正元素”变为“负元素”——这在直觉上似乎与全正性的属性相悖。但令人惊奇的是，全正性与共轭类之间依然存在着极为优美的相互作用。正是这种看似矛盾却又和谐共存的关系，构成了本文研究的出发点。

研究结果与意义

我们发表在Science China Mathematics 的这篇论文，在前期研究的基础上，取得了一系列重要结果：

刻画了全正半群中的正则元：Lusztig于1994年在其开创性工作中，基于Bruhat分解将全非负半群划分为若干“胞腔”。本文在此基础上，进一步精确刻画了哪些胞腔完全由正则元素（或正则半单元素）构成。
揭示了全非负正则幂幺元的分布：对于几乎单的代数群，本文证明了其中的全非负正则幂幺元仅出现在两个对偶的Borel子群中。
提出了全新的Jordan分解猜想：对于全非负半群中的任意元素，其Jordan分解（分为半单部分和幂幺部分）有着深刻的“全正性”特性。本文猜测，幂幺部分和半单部分都分别属于某个自然定义的“子群全正部分”。作者在GL₃验证了这一猜想，为未来更深入的研究奠定了基础。

这些结果不仅深化了我们对全正性理论的理解，还建立了它与表示论、李理论中经典概念（如正则元、Jordan分解）之间的新联系。本文的作者之一何旭华的学生陈海钰和谢锴涛在 [2] 中进一步研究了幂幺共轭类与全正性的联系。

【参考文献】

[1] Bao H, He X. Flag manifolds over semifields. Algebra Number Theory, 2021, 15: 2037-2069

[2] Chen H, Xie K. Regularity of unipotent elements in total positivity. Transform Groups, 2026, 31: 369-400

[3] Fomin S, Zelevinsky A. Double Bruhat cells and total positivity. J Amer Math Soc, 1999, 12: 335-380

[4] Lusztig G. Canonical bases arising from quantized enveloping algebras. J Amer Math Soc, 1990, 3: 447-498

[5] Lusztig G. Total positivity in reductive groups. In: Lie Theory and Geometry. Progress in Mathematics, vol. 123. Boston: Birkhauser, 1994, 531-568

作者简介

何旭华，香港大学讲座教授、新基石研究员、香港科学院院士、香港数学会理事长。曾任美国马里兰大学数学系正教授、香港中文大学卓敏数学讲座教授，并曾担任普林斯顿高等研究院冯·诺依曼Fellow。研究方向涵盖算术几何、代数群与表示论。曾获晨兴数学金奖（2013）、科学探索奖（2020）、美国数学会Chevalley奖（2022），并于2025年当选美国数学会会士。曾受邀在2015年“当代数学进展”会议上作报告，2018年成为国际数学家大会45分钟邀请报告人。

George Lusztig，麻省理工学院Abdun-Nur数学教授。1971年于普林斯顿大学获得博士学位，1971年至1977年任教于华威大学，1978年加入麻省理工学院数学系，1999年至2009年担任Norbert Wiener教授。Lusztig教授以在几何表示论和代数群领域的杰出工作而闻名，曾获伦敦数学会Berwick奖（1977）、美国数学会Cole代数奖（1985）、荷兰数学会Brouwer奖章（1999）、美国数学会Steele终身成就奖（2008）、邵逸夫奖（2014）、沃尔夫数学奖（2022）及基础科学终身成就奖（2025）等众多殊荣。他是英国皇家学会会士（1983）、美国人文与科学院院士（1991）以及美国国家科学院院士（1992）。

了解详情，请读原文 ▼

He X H, Lusztig G. Total positivity and conjugacy classes. Sci China Math, 2026, 69,

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