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数据库从特征标次数看正规Hall子群——有限群结构刻画的新进展
刘洋，杨勇，张继平
摘要
在有限群表示论中，特征标次数与群结构之间存在着深刻的联系。本文受Malle和Navarro关于用特征标次数刻画Sylow 子群正规性工作的启发，系统研究了能否通过诱导特征标(1H)G的不可约成分的次数来判定Hall子群H在群G中的正规性。我们证明了该判别准则在可解群中完全成立，且仅需考察其中单项特征标成分即可；对于一般有限群，问题可约化至非交换单群，并对例外Lie型单群、散在单群和交错群给出了肯定结果。
正文
在有限群表示论中，一个核心问题是：能否从群的“表示信息”读出群的结构？不可约复特征标次数集合cd(G)正是这样一种重要的数值不变量。著名的Itô-Michler定理表明，Sylow p-子群是正规阿贝尔子群当且仅当p不整除任何不可约复特征标次数。而主块情形的Brauer高零猜想（已于近期获证[1]）则断言，Sylow p-子群是阿贝尔子群当且仅当p不整除主块中的所有不可约特征标的次数。2012年，Malle和Navarro在判别Sylow子群正规性这一方向上取得了突破。具体而言，他们证明了：设P为有限群G的Sylow p-子群，则P是G的正规子群当前仅当诱导特征标(1P)G的不可约分量次数与p互素[2]。这一结果将子群正规性与一个具体诱导特征标不可约分量的次数紧密联系起来。
受Malle和Navarro工作的启发，我们发表在Science China Mathematics的论文系统研究了Hall子群正规性的特征标判别问题，并获得了以下主要结果。
对于可解群，我们建立了完整的判别准则：设G为可解群，H为G的Hallπ-子群，则H是正规子群当且仅当诱导特征标(1H)G的每个不可约分量的次数都不被 π 中的任何素数整除。这一结果将可解群中Sylow子群情形的结论推广到了一般的Hall子群。此外，我们还发现：在可解群中，只需考察诱导特征标(1H)G中的单项（monomial）特征标分量，就足以判别Hall子群的正规性，这进一步简化了判别条件。
对于一般有限群，我们证明了该问题可约化为非交换单群的研究。借助有限单群分类定理、单群的Hall子群分类结果[3,4]和Deligne-Lusztig理论，我们对例外Lie型单群、交错群、散在单群逐一进行了验证。特别地，对于例外Lie型单群S，我们证明若S中存在Hallπ-子群且 π 不包含定义特征，则S中存在 π-亏零特征标，由此完成了对该类型单群的验证。对于经典的Lie型单群，因其Hall子群结构更加复杂，相应的 π-亏零特征标的构造尚待进一步探索，这也将是我们下一步工作的重点。
核心创新点体现于：
（1）可解群的完整刻画：在可解群类中，建立了Hall子群正规性的特征标判别准则，实现了从Sylow子群到Hall子群的自然推广。
（2）单项特征标的优势：发现可解群中仅需考察诱导特征标的单项成分即可判定正规性，进一步简化了判别过程，凸显了单项特征标在反映群结构刻画的价值。
（3）一般群的约化与例外Lie型单群分析：将一般有限群的研究约化到非交换单群，并利用Deligne-Lusztig理论构造了例外Lie型单群的若干 π-亏零特征标，为问题的最终解决提供了支撑。
【参考文献】
[1] Malle G, Navarro G, Schaeffer Fry A, et al. Brauer’s height zero conjecture. Ann of Math (2), 2024, 200: 557–60
[2] Malle G, Navarro G. Characterizing normal Sylow p-subgroups by character degrees. J Algebra, 2012, 370: 402–40
[3] Vdovin E P, Revin D O. Hall subgroups of odd order in finite groups. Algebra Logic, 2002, 41: 8–29
[4] Vdovin E P, Revin D O. Theorems of Sylow type. Russian Math Surveys, 2011, 66: 829–870
作者简介
刘洋，天津师范大学数学科学学院副教授，清华大学基础数学博士，主要研究方向是有限群及其表示。在SCI期刊发表学术论文二十余篇。主持国家自然科学基金青年项目、天元数学访问学者项目、天津市科技局青年项目和天津市教委基础理论研究一般项目等科研项目。
杨勇，美国德克萨斯州立大学教授。于2009年获美国佛罗里达大学博士学位，从事群论和表示论方面的研究工作。近期工作主要研究有限群的表示及其轨道结构的刻画以及轨道结构在有限群数量关系上的应用。曾给出本原可解线性群正则轨道存在性的深入刻画，解决了Espuelas-Carlips猜想，解决了Moreto提出的特征标 p部分的猜想，解决了Babai-Pyber提出的有关置换群轨道结构的公开问题，解决了张继平院士提出的两个公开问题。先后在Advances in Mathematics、Math Z、J Algebra、Israel J. Mathematics等SCI杂志发表论文130多篇。现任Communications in Algebra主编。
张继平，北京大学博雅讲座教授、中国科学院院士、中俄数学中心主任。曾获国家杰出青年基金、教育部长江特聘教授、全国五一劳动奖章、全国先进工作者、全国优秀科技工作者、国家自然科学奖、陈省身数学奖等。曾任Algebra Colloquium主编，现为MDPI(中国)物理&数学科学委员会委员，Asia-European J. Math副主编和Journal of Algebra and its Applications等杂志编委。研究方向是有限群及其表示。20世纪80年代早期应用有限单群分类世纪大定理做出突出贡献，第一个给出了亏零P-块的充要条件，解决了Brauer39问题，与人合作解决了Brauer40问题。发展了群的算术理论，进而解决了Huppert猜想和共轭类长猜想等长期未解决的难题，并在数域的Dededkind-Zeta-函数和黎曼流形上的Laplace-Beltrami算子等谱问题研究中得到应用。他还对可解群解决了S3-猜想，证明了新的p-幂零准则，并在融合系和模表示论范畴化等方面做出重要结果。他和学生在模表示论国际前沿焦点问题—Alperin权猜想归纳条件做出领先成果。
文章信息
Liu Y, Yang Y, Zhang J P. Characterizing normal Hall subgroups by character degrees. Sci China Math, 2026, 69,
