SCM论文 | 突破有界增长条件: Banach空间发展族指数二分粗糙性的新结果

考虑非自治线性微分方程

其中

随时间变化。系统从时刻

到时刻

的发展通常由双参数算子

描述，这样的一族算子称为发展族。 对于一个具有双曲性质的非自治系统，相空间在每个时刻可以分解为稳定部分和不稳定部分。在稳定子空间上，解沿正向时间指数衰减；在不稳定子空间上，解沿反向时间指数衰减。这一性质称为指数二分。 指数二分可以视为自治动力系统中双曲性的非自治推广。它不仅描述解的长期稳定与不稳定行为，也是构造Green函数、研究非齐次方程有界解、建立不变流形以及证明动力系统结构稳定性的基础。指数二分理论可以追溯到Perron关于线性微分方程稳定性的工作[1]，随后得到Massera-Schäffer、Daleckij-Krein、Coppel、Henry、Palmer、Chow-Leiva、Pliss-Sell等学者的系统发展[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。

该理论中的一个基本问题是指数二分的粗糙性，即指数二分在小扰动下是否保持。对于扰动方程

传统文献通常从以下三种意义刻画扰动

的“小”。 第一种是点态一致小、第二种是局部绝对积分小、第三种是局部原始积分一致很小， 即

一致小。第一种意义下的小扰动最强， 第三种意义下的小扰动最弱，能够反映扰动随时间振荡产生的抵消效应。在不假设有界增长条件下，即不假设以下条件

满足， Coppel[4]和 Daleckij-Krein [3] 分别研究了在第一种意义和第二种意义小扰动下指数二分的粗糙性。Coppel[4]还在假设

和

在点态一致有界下，证明了在第三种意义小扰动下指数二分的粗糙性。该结果中

和

在点态一致有界的假设蕴含了有界增长条件成立。

Henry在研究半线性抛物方程时，将指数二分粗糙性推广到一般发展族。他证明：如果未扰动发展族具有指数二分，并满足有界增长， 同时扰动后的发展族在固定长度的局部时间窗上与原发展族充分接近，那么扰动后的发展族仍具有指数二分[5]。 有界增长在Henry的证明中起着关键作用。其方法是首先在离散时间格点

上应用离散系统的指数二分粗糙性，再利用有界增长控制相邻格点之间的连续时间发展，从而把离散时间的二分恢复到连续时间。

然而，指数二分并不保证有界增长。指数二分只控制稳定方向上的正向衰减和不稳定方向上的反向衰减，并不控制不稳定方向沿正向时间的增长速度。因此，一个系统即使具有稳定-不稳定分解，其全空间发展算子仍然可能比任意给定的统一指数上界增长得更快。 由此产生了一个自然问题： 如果未扰动发展族具有指数二分但不具有有界增长，而扰动后的发展族在每个固定长度的时间窗上与原发展族充分接近，指数二分是否仍然保持？ 进一步，对于微分方程： 当

的点态范数和局部绝对积分不能足够小，但其局部原始积分由于振荡抵消而足够小时，在没有有界增长的条件下，指数二分是否仍然保持？

我们发表在 Science China Mathematics的论文 [9] 对第一个问题给出了肯定回答，并在扰动具有紧支撑的条件下，对第二个问题给出了部分肯定回答。 论文的主要结果可以概括为以下两个方面。

1. 在没有有界增长的条件下证明发展族指数二分的粗糙性

设

是Banach空间上的发展族，并在时间区间

上具有指数二分，其二分指数和二分界分别为

和

。设 

为另一个发展族. 我们证明了，对任意 

, 

以及任意固定的时间步长

，存在充分小的

，只要

则

在

上也具有指数二分，其二分指数和二分界可分别取为

和

。

2. 证明一类高频振荡扰动下指数二分仍然保持

考虑线性微分方程及其扰动方程。 假设未扰动线性方程具有指数二分，若

的局部原始积分范数充分小且

具有紧支撑，则原方程与扰动方程的发展族在长度不超过

的时间窗上充分接近。进而通过新的发展族粗糙性定理得到扰动方程也具有指数二分。

本文工作的意义主要体现在以下几个方面。 首先，论文证明有界增长并不是发展族指数二分粗糙性的必要条件，从而扩大了经典粗糙性理论对非自治系统的适用范围。 其次，论文建立的扩展Green函数方法，为缺少全空间增长控制时连接离散时间系统和连续时间系统提供了新的工具。 最后，高频振荡实例表明，本文的扰动条件能够识别时间振荡产生的抵消机制。 总体而言，本文在一般Banach空间发展族框架下，对“无有界增长条件时指数二分是否仍具有粗糙性”这一问题给出了肯定回答，并为研究更广泛的非自治双曲系统提供了新的Green函数方法和定量分析工具。

【主要参考文献】

[1] Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen. Mathematische Zeitschrift, 1930, 32: 703-728.

[2] Massera J L, Schäffer J J. Linear Differential Equations and Function Spaces. New York: Academic Press, 1966.

[3] Daleckij J L, Krein M G. Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space. Providence: American Mathematical Society, 1974.

[4] Coppel W A. Dichotomies in Stability Theory. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 629. Berlin: Springer, 1978.

[5] Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 840. Berlin: Springer, 1981.

[6] Palmer K. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points. Journal of Differential Equations, 1984, 55: 225-256.

[7] Chow S N, Leiva H. Unbounded perturbation of the exponential dichotomy for evolution equations. Journal of Differential Equations, 1996, 129: 509-531.

[8] Pliss V A, Sell G R. Robustness of exponential dichotomies in infinite-dimensional dynamical systems. Journal of Dynamics and Differential Equations, 1999, 11: 471-513.

[9] Zhang W N, Zhou L F. Roughness of the exponential dichotomy for evolution families in Banach spaces without bounded growth. Science China Mathematics, 2026, 69,