一类定义在图上的竞争系统

竞争模型是生态学中描述物种间竞争关系的经典数学模型，其应用早已超越生态学，在经济学、医学、物理化学以及社会科学等领域有广泛应用。

常微分竞争系统动力学在菲尔兹奖得主 Smale、Hirsch 等数学家的推动下得到深入发展。伴随着空间生态学的发展，无穷维扩散-竞争系统在过去近半个世纪得到广泛研究，Dancer、倪维明等数学家做出了一系列有影响力的工作。

空间离散斑块竞争模型的定性研究相对滞后。美国科学院院士 Hastings[3]做出了开创性工作：基于斑块竞争模型探讨了扩散策略的演化博弈，建立了慢扩散被进化选择的理论结果。这项工作激发了大量后续研究，特别地，当斑块网络拓扑结构变得复杂时，即使对于三斑块情形，仍有许多问题尚未解决 [4, 5]。 近期，围绕一般的 

斑块扩散-竞争模型，Slavík [1]和 Chen 等[2]分别在空间齐次和空间异质的框架下，揭示了系统丰富的动力学性态。

受上述工作启发，我们考虑更一般的情形：对任意 

斑块，假设物种在不同斑块之间既有扩散运动，又有偏向性对流运动，如何从动力系统的角度给出这类高维 (

维) 系统的长时间动力学？一般来讲，高维系统的数学基本理论尚不完善，相应分析工具较为有限，研究上有根本性困难。我们试图在一定框架下，构建这类系统的稳定性理论和分支理论，促进常微分方程定性理论的进一步发展。

我们发表在 Science China Mathematics 的论文[6]主要证明了以下结果。

1. 在一般框架下给出了系统局部动力学的完整分类

在已有研究中，系统边界平衡解的局部稳定性通常在某些特定条件下得到，例如空间均匀性[1]，两竞争物种具有相同的局部增长率或相同的扩散速率[2]。我们在一般框架下，包含对流、无对流情形 (甚至一个物种有对流，另一个物种无对流)，也包含空间均匀、异质情形，并且对扩散速率、对流速率、增长率等参数没有额外限制，给出了系统局部动力学的完整分类。

2. 建立了系统任意正平衡解的线性稳定性

在描述运动的矩阵所对应的有向图满足环平衡 (cycle-balanced) 的假设下，结合矩阵算子主特征值理论与图论，建立了新的充分条件保证系统任意正平衡解线性稳定，并结合单调动力系统理论给出了系统长时间动力学的分类，将 Chen 等[2]无对流的理论结果进一步推广到带对流的情形。

3. 从竞争强弱的角度给出了系统全局动力学划分

结合上述两个方面，得到了竞争系数位于某条双曲线下方区域内系统全局动力学的划分。在剩余参数区域，借助比较方法与紧性分析，给出了相应动力学刻画，但也存在一些特殊区域，其动力学难以完整刻画清楚，例如在强竞争区域，系统呈现多解现象，此时存在稳定的正平衡解，也存在不稳定的正平衡解。

本文系统研究了任意斑块上的两物种扩散-对流-竞争系统，在一定条件下建立了系统任意正平衡解的线性稳定性，并从竞争强弱的角度给出了系统全局动力学划分。理论上，进一步发展了处理高维常微分方程组的方法和技巧，尤其是正平衡解线性稳定的先验估计。数学上，如何建立系统任意正平衡解线性稳定的最优条件值得进一步探索。在近期另一项工作[7]中，我们发展了处理高维常微分方程组正平衡解不存在性的技术方法。

作者简介

李强，2026年6月获上海师范大学理学博士学位。现为临沂大学数学与统计学院教师。研究方向为常微分方程与动力系统，部分成果发表于JDE、SCM、SAPM等国际数学期刊。

周鹏，上海师范大学数学系教授，博士生导师。主要研究方向为微分方程与动力系统以及生物数学，在有限维、无穷维竞争系统全局动力学方面取得系列性成果。主持国家自然科学基金优青项目、面上项目等。曾入选上海市东方学者特聘教授及跟踪计划。