半张量数学

半张量数学也称跨维数数学. 回顾经典数学, 无论是微分方程、差分方程、有限群、或微分流形, 都有固定维数 (或离散变量数). 因此, 不妨把它们称为固定维数学. 但是, 无论是自然界, 还是人造系统, 都有大量变维数或不确定维数的动态演化过程, 这些过程难于用现有的固定维数数学框架进行建模. 例如生物细胞的演化、互联网. 还有许多动态过程, 如飞机起飞及降落, 航天器对接或分离, 都会有变维数情况发生. 因此, 跨维数数学是高新科技发展的需求. 

矩阵的半张量积与半张量和首次打破了经典理论对维数的限制. 由此出发, 产生了跨维数数学. 包括超群、超环、超模等代数结构; 跨维欧氏空间及跨维微分流形等几何结构; 以及跨维数的超李群、超李代数等动力学分析结构. 它们初步形成了一个跨维数的应用数学的新生长点, 已经或正在得到越来越多的应用.

从半张量积到超群

任给两个矩阵 且 t = lcm(m,p) 为 m, p的最小公倍数. 则A, B的半张量积定义为

考虑不同维数的可逆矩阵集合

不是一个群, 是一个群簇, 称为超群. 它有一个单位元集合  每个单位元对应一个群 (超群的组成群). 等价类还构成一个商群.

设 为一个n- 阶置换群, 记  则在适当的乘法下也可构成一个超群.

基于超群, 超环、超模等均可有效定义.

从半张量和到泛维欧氏空间

任给两个矩阵 以及则 A, B的半张量和定义为

在深度学习里, 半张量和被称为广播机制 (broadcasting mechanism) [11].

记

设 则

则 为一超向量空间 (它既是加法超群, 又构成多零元的 “向量空间”).

在 上定义距离. 

设则

(i) (内积)

这里, 是 上的普通内积.

(ii) (范数)

(iii) (距离)

则 在距离导出拓扑下成一拓扑向量空间. 它也是内积空间.

泛维欧氏空间的几何结构在信号处理及生成式人工智能中有许多应用 [7,9,10]. 

超李群/超李代数

粗略地说, 局部同胚于的拓扑空间称为泛维流形, 泛维欧氏空间为它提供具有纤维丛结构的多层局部坐标. 具有超群结构的泛维流形称为超李群, 它相应的李代数结构称为超李代数.

非方矩阵的一般线性群 和一般线性代数 是一个有代表性的中间成果. 利用保维数矩阵半张量积构造环, 定义李代数, 将凯筙-哈密顿定理推广到非方矩阵, 再利用它推导非方矩阵可逆的充要条件, 进而构造非方矩阵的一般线性群. 最后结果惊人的简洁.

一般超李群/超李代数可视为非方矩阵一般线性群/一般线性代数在张量(或曰超矩阵)上的推广 [8].

它们可用于分析跨维数动态系统的结构、动态演化与控制设计 [6].

本文提出一个全新的跨维数数学框架. 是作者及其众多合作者近三十年努力逐步发展起来的一个从零到壹的新学科方向的雏形. 虽然还远未臻于完善, 但它包含大量全新的结构 [2]、理论成果 [3,4,5], 以及多种实际系统应用 [1,6], 可望成为人工智能时代系统设计、分析、优化等的有力新工具. 

注：这篇短文仅汇报与所介绍的论文相关的个人的工作, 它不能反映这个新学科生长点的全貌.

【参考文献】

[1] Cheng D, Qi H, Li Z. Analysis and Control of Boolean Networks: A Semi-tensor Product Approach. London: Springer, 2011

[2] Cheng D, Qi H, Zhao Y. An Introduction to Semi-tensor Product of Matrices and Its Applications. Singapore: World Scientific, 2012

[3] Cheng D. From Dimension-Free Matrix Theory to Cross-Dimensional Dynamic Systems. London: Elsevier, 2019

[4] Cheng D. On equivalence of matrice. Asian J Math, 2019, 23: 257--348

[5] Cheng D. From DK-STP to non-square general linear algebra and general linear group. Commun Inform Syst, 2024, 24: 1--60

[6] Cheng D, Zhang X, Ji Z, Li C. Observer-based realization of control systems. IEEE Trans Auto Contr, 2026, 71: 1084--1098

[7] Chen X, Cheng D, Feng J. Matrix projection and its application in image processing. Digital Signal Processing, 2025, 163: 105231

[8] Cheng D, Ji Z. On Universal eigenvalues and eigenvectors of hypermatrices. J Franklin Inst, 2025, 362: 108126

[9] Cheng D, Zhang X. On Dimension-free transformer --- An application of STP to AI. Unmanned Systems, 2025, 13: 1403--1421

[10] Cheng D, Zhang X. Semi-tensor-product based convolutional neural network. Science China Inform Sci, 2026, 69,

[11] Zhang A, Lipton Z C, Li M, Smola A J. Dive Into Deep Learning. Cambridge: Cambridge Univ Press, 2022

作者简介

程代展

中国科学院数学与系统科学研究院研究员，聊城大学特聘教授。国际电气与电子工程师协会会士（IEEE Fellow），国际自动控制联合会会士（IFAC Fellow），中国自动化学会首届会士，曾任IFAC理事、IEEE CSS执委、中国自动化学会控制理论专业委员会主任。曾获国家自然科学二等奖两次，Automatica 2008-2011最佳论文奖，中国科学院个人杰出成就奖。此外，还获得省部级一等奖两次、二等奖六次、三等奖两次。

文章信息