SCM论文 | 二维随机加权和的尾概率二阶渐近理论

在保险精算与金融风险管理领域，多业务线与多机构联动风险已成为行业研究核心。二维离散时间风险模型刻画两类业务折现累积净损失，对应上述两组随机加权和。研究核心关注如下两类尾部概率：

联合尾概率：两条业务线同时发生大额极端损失的概率，用于测算双业务线同步破产、跨机构风险传染概率，是CoVaR、MES等系统性风险指标的核心基础；

加和尾概率：两类业务总损失超出总盈余的概率，对应集团整体破产风险。

现有研究大多仅给出上述两类尾概率的一阶渐近近似，估算误差偏大；且多数成果仅限定单变量与独立相依，针对随机权重任意相依、损失服从二阶次尾分布的一般场景，现有理论框架尚不完整，影响风险模型落地精度。

（一）联合尾概率二阶渐近定理（定理 2.4）

设，权重有界，对任意固定正整数，当时：

其中，第一项是一阶渐近主项，仅考虑单期损失独立触发极端风险；第二项是二阶修正项，刻画不同时段损失交叉叠加带来的尾部增量；第三项是高阶无穷小余项，极端阈值下可忽略；其中，代表除去第期剩余时段集合。

若边缘分布密度属于正则变化类，可进一步化简为显式可计算推论（见原文推论 2.7），直接分离相依参数、尾指数、权重矩的影响作用。

（二）加和尾概率二阶渐近定理（定理 2.8）

在定理2.4的条件下，附加局部尾等价条件，则对固定，当时：

其中，前两项是一阶主项，单组加权和独立突破阈值；第三、四项是单组加权和内部交叉二阶修正；第五项是两组不同业务损失交互带来的二阶尾部增量；末项为高阶小量余项。

（三）核心理论创新点

1. 理论结果覆盖 FGM 相依系数全区间，适配所有正负相依场景；

2. 结果允许折现权重任意相依，仅要求有界，与利率、通胀联动的金融市场相贴合；

3. 结果区分一阶主效应、二阶交叉修正项，模拟实验证明二阶近似可大幅降低极端风险低估偏差；

4. 本文配套完整引理体系，理论结果证明方法可拓展至三维及更高维多业务风险模型。

5. 模拟仿真实验表明：一阶渐近始终低估尾部风险，比值仅 ，极端场景下偏差较大；二阶渐近比值稳定落在 区间，渐近值与模拟值高度贴合；阈值越大（极端尾部场景），二阶近似相对精度越高，对巨灾风险、系统性风险测算价值突出。

（一）理论价值

1. 拓展二维随机加权和二阶渐近理论，将单变量二阶次指数加权和体系完整拓展至二维相依场景；

2. 构建含辅助引理、分块分解、局部尾估计的通用证明框架，可直接推广至连续时间多维风险、高维联合期望短缺（JES）、广义风险测度（Generalized Risk Measures）等前沿问题；

3. 完善FGM相依重尾渐近分析工具，统一处理正负相依、任意相依权重、二阶次指数尾等复杂条件。

（二）行业应用价值

1. 在系统性风险度量领域，支撑 CoVaR、MES 等高阶传染风险指标测算，量化跨机构尾部风险溢出概率；

2. 在保险精算领域，适配双业务线离散时间折现损失模型，给出同时破产、集团总破产概率高精度显式近似，降低巨灾准备金数值计算成本；

3. 在资产负债管理领域，建模保险负债加权损失、投资组合加权亏损，量化资产负债联合极端尾部风险，优化保险公司偿付边际计提标准。

作者简介

耿冰振，安徽大学大数据与统计学院讲师，硕士生导师。2023年获中南大学理学博士学位，曾先后访问加拿大滑铁卢大学、香港中文大学（深圳）等国内外知名大学。研究兴趣包括保险精算、风险度量、极值统计等。相关成果发表于IME、SIFIN、JCAM、JMAA等期刊。

刘杨，香港中文大学（深圳）理工学院助理教授，博士生导师。2021年获清华大学数学博士学位，之后在滑铁卢大学和斯坦福大学担任博士后研究员。研究领域包括金融数学、运筹学、精算学、应用概率，具体包括相依不确定下的稳健风险聚合与风险度量、非凹/凸效用投资组合优化等问题。相关成果发表于OR、MF、FS、SICON、IME等期刊。

汪世界，安徽大学大数据与统计学院教授、博士生导师。2010年获华东师范大学理学博士学位，曾在2014至2015年国家公派访问美国爱荷华大学。研究兴趣包括保险精算、金融统计、应用随机过程等。相关成果发表于IME、JAP、JCAM、JMAA、SPL、MCAP等期刊。

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Geng B Z, Liu Y, Wang S J. Second-order asymptotic analysis of tail probabilities of bidimensional randomly weighted sums. Sci China Math, 2026, 69,10.1007/s11425-025-2635-2