SCM论文 | 张量代数与Morita代数的弱Gorenstein性

发布时间：2026-10-24来源：中国科学杂志社

高楠，章璞，朱士杰

摘要

如何判断一个代数是否具有弱Gorenstein性，是表示论、同调代数和奇点理论中的重要问题。解决此问题的关键及难点在于给出Gorenstein投射模及半Gorenstein投射模的具体刻画并能有效地加以比较。本文对于两类重要代数——张量代数和Morita代数，发展了单态射范畴的方法，系统地建立了这些复杂代数与其组成部分之间的结构性联系，并给出了相应（半）Gorenstein投射模的刻画，从而得到代数弱Gorenstein性的判定准则。作为应用，论文进一步得到上三角矩阵代数弱Gorenstein性的一个简洁判别准则，为研究相关代数的同调性质提供了新的工具。

正文

Gorenstein投射模由Auslander和Enochs 等从不同角度独立地引入[1, 4]。它性质优良，相对于投射模具有更好的稳定性，被用来描述和消解奇点，在同调代数、表示论、代数几何中应用广泛[1, 2, 3, 4, 7, 14]。确定Gorenstein投射模是基本而困难的问题。Gorenstein投射模的定义有3条公理，半Gorenstein投射模是其中一条。这3条公理，最近被证明是独立的 [2, 11, 12] 。弱Gorenstein代数是指这样的代数，其半Gorenstein投射模都是Gorenstein投射模。因此，判断一个代数的弱Gorenstein性，具有明显的理论意义和应用价值，近年来成为代数表示论与同调理论中一个重要研究课题。然而，判定代数的弱Gorenstein性在一般情况下相当困难，其中一个重要原因是目前并没有对所有(半)Gorenstein投射模进行明确分类的方法。

我们发表在《中国科学：数学（英文版）》（Science China Mathematics）的文章研究两类基本而重要的代数：张量代数和Morita代数。通过单态射范畴的方法[9, 5, 14, 8, 13, 10, 6]，在适当条件下解决了两类代数半Gorenstein投射模的刻画的问题，从而给出了其弱Gorenstein性的简明判定方法：当B的整体维数有限时，张量代数为弱Gorenstein代数当且仅当A为弱Gorenstein代数；在一定条件下，Morita 代数为弱Gorenstein代数当且仅当A, B同时为弱Gorenstein代数。

本文结论的另一意义在于，它为系统性地构造非弱Gorenstein代数提供了重要手段，这在不久之前仍是非常困难的，而这类代数对于研究同调猜想等往往起着重要作用。

核心创新点

(1) 适用广泛：本文研究的张量代数和Morita代数是两类重要的代数，包括三角矩阵代数等常见代数类。本文主要结论具有很高的适用性。

(2) 单态射范畴：我们利用并发展了单态射范畴的方法，来研究两类代数上的(半)Gorenstein投射模，发展了单态射范畴理论及其应用。

(3) 具体可构造性：对两类代数上半Gorenstein投射模的刻画以及弱Gorenstein性的判定条件都简单明了，便于验证与应用。结论突出从小代数到大代数的构造思想，可递归地应用于弱Gorenstein代数或非弱Gorenstein代数的构造。

【参考文献】

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[14] Zhang P, Xiong B-L. Separated monic representations II: Frobenius subcategories and RSS equivalences. Trans Amer Math Soc, 2019, 372: 981-1021

作者简介

高楠，上海大学数学系教授，博士生导师，上海市“东方学者”特聘教授。主要研究方向是代数表示论、同调代数、三角范畴、导出范畴、Gorenstein同调代数、单态射范畴、Morita代数。在Proc London Math Soc、Sci China Math、J Algebra、Proc Amer Math Soc、Algebra Represent Theory等期刊发表论文40余篇，主持国家自然科学基金青年基金和两项面上项目。

章璞，上海交通大学特聘教授，博士生导师。“国际纯粹与应用数学中心”委员，法国国家科研中心Directeur de Recherche，《中国科学：数学》中、英文刊和Communications in Mathematics and Statistics等期刊编委。研究方向是代数表示论、模型结构、范畴论和同调代数。发现仿射型合成代数3-分解定理；确定Kronecker合成代数的PBW基；发现Gorenstein投射模与单态射范畴的基本联系；合作解决高次Koszul模、上同调群、Gorenstein投射模公理的独立性等公开问题，获得多种新的模型结构。发表论文百余篇，出版专著和教材7部，主持国家自然科学基金杰出青年基金、重点项目、面上项目等。

朱士杰，南通大学数学与统计学院教授，江苏省特聘教授。主要研究方向是同调代数、倾斜理论、单态射范畴、拓扑数据分析中持续模理论。在SCI期刊发表科研论文十余篇，主持完成国家自然科学基金青年项目。

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Gao N, Zhang P, Zhu S J. Weakly Gorensteinness of tensor algebras and Morita algebras. Sci China Math, 2026, 69,

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